zagadki i łamigłówki logiczne

Zagadka jest z I etapu XXIV Międzynarodowych Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych z tego roku. Etap zakończony, więc mi to niepotrzebne, zresztą do mojej kategorii się nie zalczało.

Piotr i Sergiusz są matematykami. Portier usiłuje ch stale "zagiąć". Pierwszego kwietnia obydwaj spotykają portiera.
Wybrałem 2 liczby całkowite między 1 i 100 włącznie, mówi portier. Oto ich iloczyn, mówi do Piotra podając mu kartkę papieru. A oto ich sum, mówi do Sergiusza dając mu inną kartkę papieru.
-który z was odgadnie te liczby?
-ten iloczyn mi nie wystarcza-mówi Piotr.
-wiedziałem to- mówi Sergiusz.
Nazajutrz, portier przyznaje, że odwrócił kartki papieru: w rzeczywistości, na kartce Piotra jest suma, a na kartce Sergiusza iloczyn.
-niestety, ten iloczyn dalej mi nie wystarcza, ale wiem że Piotr je zna-mówi Sergiusz.
-zatem odgadłem te liczby- mówi Piotr.
-ja także- mówi Sergiusz.

Jakie są te dwie liczby (może być kilka rozwiązań, których nie znam, więc dawać z wytłumaczeniem. Ale z kolegą tyle nad nim myśleliśmy, że chcę poznać zdanie innych )

Doszłam już do jednego rozwiązania, a przynajmniej tak mi się wydaje

x,y (należą) C
Piotr miał na kartce x+y, a myślał że x*y.
Sergiusz miał na kartce x*y, a myślał że x+y.

Dwie liczby całkowite, można rozumieć, jako dwie różne liczby całkowite?
x =/ y

Myśli dnia 1
-> Piotr: nie wystarczał mu iloczyn, tzn, że iloczyn ten nie był liczbą pierwszą, ale i nie był potęgą (np. 7*7=49) albo raczej: nie tylko nią (36=6*6=4*9).

Iloczynem mogły być:
6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40... itd
np. 6 -> 2 i 3 lub 6 i 1


-> Sergiusz:

[nie rozumiem, co znaczy: wiedziałem to. czy wiedział, że Piotr nie odgadnie, czy że sam zgadł? przyjmijmy, że wiedział, iż Piotr nie odgadnie... tzn miał liczbę na dość wysoką, by nie były jednoznaczne składniki - większą od 4 ;p]

Myśli dnia 2:
-> Sergiusz: a więc to iloczyn... taki niski? Hm. Skoro tak, Piotr ma pewnie łatwo.
-> Piotr: o! to była ich suma? i Sergio mówi, że znam... hm...

przykładowe 6 jawi mu się teraz jako suma. 6 = 4i2, 5i1, (wykluczamy 3i3)
A Sergiusz mówi, że znam...
jeśli suma jest taka nisk, to i iloczyn nie będzie wysoki. 4*2 = 8... 5*1 = 5... Gdyby było pięć, Sergiusz by znał te liczby, bo jak inaczej mógłby mnożyć liczby całkowite do pięciu? Więc jest 8 u niego. Więc jest 4*2.

-> Piotr mówi, że wie
-> Sergiusz: 8... to może być 8*1 i 4*2. Piotr już odgadł... ale to dzięki mnie... to znaczy, że miał możliwości, które wykluczył przez to, że ja nie znam... gdyby miał 9 jako sumę... to mógł mieć 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. 2*7 = 14... 14 mogło być i z 1*14, i z 7*2... zatem nie wiedziałbym... 3*6 = 18, mogło być też 2*9... 4*5 = 20 = 2*10... 1*8=8=4*2. Żadnego z tych nie byłby pewien. Nie wykluczyłby ich, bo ja nie znałem. Więc nie 8+1.
A 4+2 gdyby miał? 6 = 4+2 albo 5+1. Gdyby 5+1 tobym wiedział ja już na początku... Więc może wykluczyć to i wziąć 4i2.

Moimi liczbami, byłyby 4 i 2.


Troche zagmatwane i trochę pozakładałam. Mam nadzieję, że zrozumiałam dobrze treść (a wcale nie jestem tego pewna ;p) Coś mi z podkreślonym fragmentem nie pasuje do końca, ale nie mam już czasu sprawdzić, muszę wyjść...
Edit: [ Sprawdziłam i jawi mi się, "dobrze". Ale chętnie bym porównała. ]

Przede wszystkim, mam jednak wrażenie, że takie zadanie może mieć dużo, duuużo odpowiedzi, jeśli nie podasz choć jednej z liczb na kartkach. Ale to takie wrażenie tylko...

Pozdrowienia!
I, pokażcie swoje przemyślenia/rozwiązania, hm?

Analizując przykład 4 i 2 wychodzi nam:
P=2+4=6
S=2*4=8

dzień 1
P: ma 6 i mysli, że to iloczyn 6=x*y czyli 1*6 lub 2*3 => nie wie jakie to liczby
S: ma 8 i mysli że to suma 8=x+y czyli 1+7 lub 2+6 lub 3+5 lub 4+4 (nie zakładam ze x=/=y bo nie jest powiedziane w zadaniu ze nie jest)
jest kilka możliwości dlatego Sergiusz nie wie jakie to liczby i wszystko by się zgadzało gdyby nie to, że Sergiusz wiedział, iż Paweł również nie odgadnie tych liczb a w tym wypadku nie mógłby tego wiedzieć bo gdyby Paweł miał 7 to by zgadł. Sergiusz patrząc na swoją liczbę=8 nie miałby podstaw aby sądzić ze Paweł nia ma liczby=7

Uogólniając z 1 dnia wiemy:
1. po wypowiedzi Piotra "ten iloczyn mi nie wystarcza": P=/= liczba pierwsza
2. po wypowiedzi Sergiusza "wiedziałem to": S=/= liczba pierwsza+1

z 2 dnia:
3. po wypowiedzi Sergiusza niestety ten iloczyn dalej mi nie wystarcza": S=/= liczba pierwsza
"ale wiem, że Piotr je zna: .... c.d.n.

hmm, znam oficjalne rozwiązania. są 2, i zarówno moje, jak i wasze są mylne... ja na 98 i 1 obstawialam

Jednej rzeczy nie rozumiem:

Sergiusz wie, że Piotr ma wystarczające informacje, aby wydedukować, o które liczby chodzi.

I uwaga(!) Sergiusz nie dowiaduje się niczego nowego (to co powiedział Piotr wiedział już wcześniej)

Sergiusz nie dowiedział się niczego nowego, więc skąd teraz mógł znać liczby?

swrn, mi się wydaje, że Sergiusz po prostu naprowadził Piotra, iż ma on szanse odgadnąć te liczby. Sergiusz znając swoje domyślał się, jakie są Piotrowe. Piotr po podpowiedzi Sergiusza odgadł... Sergiusz więc wie, że się nie mylił i...
Zamotane to cholernie.

Skąd masz oficjalne rozwiązania, i czy są one uzasdniobne? A może jest gdzieś w ogóle inaczej zapisana treść zadania, może jaśniej?

Zadanie przepsałam żywcem z arkusza konkursowego, napisałam z jakiego. A odpowiedzi (niestety bez uzasadnień, po prostu włożone w kartę odpowiedzi) są na stronie internetowej konkursu. Mi też ta zagadka dziwna się wydawała, ale ciekawa

Mi się wydaje, że to nie ma rozwiązania, bo gdzieś widziałem coś podobnego...